学习的数学原理

1. 难度层级

应用中的每个汉字、词语和短语都有一个难度分数：一个告诉系统它有多难的数字。这些分数不是随意的：它们遵循中文本身的组合结构。简单汉字得到低分，当汉字组合成词语和短语时，组合的难度从其组成部分的难度计算得出。这创造了从简单构建块到复杂表达的自然学习进阶。

这个难度量表是系统中其他一切的基础。技能水平为N的用户应该有超过一半的概率掌握了难度分数为N或更低的任何项目。本页描述的每个模型（水平追踪、技能估计、认知负荷、卡片选择）都在这同一个量表上运作。

单个汉字

整个体系的基础。每个汉字都有一个逐条评定的难度分数，而且没有一个是随意的：每个分数都以我们制定的评分准则为衡量标准，准则写明了系统的基本原则。它对每一次定位的核心提问是「学会这个字，能让学习者做到哪些原本做不到的事？」复杂度、实用性和现实频率都在考量之列，但用准则的原话说，「语料频率不等于教学优先级」。示例：

「对」占据第一级，是一个有意为之的选择，而且有两层用意：它是学习者从第一天起就用得上的字之一（表示同意、确认，也是听懂老师反馈的关键），同时它也是我们应用名字的由来！这也恰好提醒我们这条阶梯的本质：它只是众多可能的教学路径之一。是我们设计了它，我们认为它不错，但它并非权威定论，我们会随着对用户真实学习方式的了解不断迭代，更新数据与方法。

多字短语

当汉字组合成短语时，短语的难度总是高于其中最难的字，但又不会像把所有字的难度简单相加那么难。这在直觉上说得通：认识每个字给了你一个起点，但它们如何协同工作仍有额外的东西要学。

形式化地说，一个合成词 $P$ 会分解为片段 $S_1, S_2, \ldots, S_n$：词分解为它的字，更长的短语则分解为它的组成词，层层递归。难度由各片段难度（有修正时采用修正值）的平方和开根后向上取整得出：

$$\text{difficulty}(P) = \left\lceil \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \text{difficulty}(S_i)^2} \;\right\rceil$$

这个公式有几个理想的性质：

• 严格单调性：短语总比其最难的组成部分更难，由向上取整保证。
• 次可加性：$\text{difficulty}(P) < \sum_i \text{difficulty}(S_i)$：整体比各部分之和容易。
• 部件敏感性：每个组成片段都影响最终难度。

计算示例

最后一行展示了递归的作用：「你很好」并不是分解成三个单字，而是分解成「你」和词语片段「很好」，于是「很好」已经算好的难度直接进入求和。

组合规律失灵之处：难度修正

计算分数回答的是一个精确的问题：学习者何时认识了足够的字，能把这一条读出来？这是正确的默认值，我们的评分准则称之为铁律：一个词永远不能排在它最难的字之前，因为在那之前学习者根本读不出它。但语言并非完全服从组合规律，公式会朝两个方向失灵。两种失灵都由合成词记录上的一次难度修正来纠正，修正的依据是同一份准则。

有些合成词比它的部件更难。认识字不等于猜得出词。「个子」由「个」和「子」组成，认识这两个字对词义毫无帮助；「五一」要求你知道五月一日是劳动节；「而去」这样的文言结构用的全是入门级的字，语法却要到高阶才会学。还有一种更隐蔽的失灵，我们称之为「奶」原则：像「奶」和「水」这样的常用字被有意排在很前面，于是公式为它们的每一种组合都算出低分，包括「奶水」，而没有哪个学中文第一周的人需要跟酒店前台讨论这个词。这些都会被向上修正。

少数合成词要先于它的部件学会。向下修正更少见，门槛也更高：问题不是「这个词常用吗」，而是「学习者是否在能读出它的字之前就需要它」。「学生」这样的生存词汇，按部件计算会落在中级区间，却被修正到入门级，因为学习者头几周就要把它当作整体记住。「咖啡」这样的音译词也一样：它的字只是记音符号，解码本来就不是重点。向下修正会有意放宽上文的单调性保证，而这是诚实的选择：学习者确实先会了这个词，后认识它的字。

修正只落在合成词记录上，绝不落在字上，这样每个字的分数始终诚实地反映它独立的学习难度。修正终究是例外：大多数词就是由它的字直接、能产地组合而成，计算分数本身就够用。但例外也谈不上罕见，语言本来就是这样：不到 20% 的词语和 4% 的短语带有修正，其余全部以计算分数为准。

部首

部首是汉字内部反复出现的构建块，就像"水"部首（氵）出现在河（river）、海（ocean）和湖（lake）中。学习部首帮助你识别模式和猜测含义，但它们是抽象概念，只有在你见过足够多的真实汉字后才有意义。所以应用会等到你建立了扎实的汉字基础后才引入它们，确保你有足够的具体例子来锚定每个部首的含义。

部首难度的计算有利于常见部首更早出现：

$$\text{difficulty} = \max\!\Big(500,\; 500 + \frac{d_3}{\sqrt{c}} + \frac{c_{\max} - c}{10}\Big)$$

其中 $d_3$ 是包含该部首的第3容易的汉字的难度，$c$ 是引用它的汉字数量，$c_{\max}$ 是被引用最多的部首的计数。常见部首更早出现；稀有的则等待。

2. 贝叶斯水平模型

把每张闪卡想象成有一个隐藏的"知识仪表"，介于0%和100%之间。当你第一次遇到一张卡片时，应用真的不知道你会不会答对，你可能在那个范围的任何位置。每次复习，它观察你的表现并相应调整估计：答对了，仪表上升；答错了，它回落。经过多次复习，应用建立起越来越准确的关于你实际知道什么的图景。

数学上，我们将你对每个中文短语的知识建模为一个未知参数 $\theta \in [0,1]$ 的伯努利随机变量，表示你正确回忆它的概率。我们对 $\theta$ 放置一个Beta先验：

$$\theta \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$$

Beta分布是伯努利似然的共轭先验，这意味着每次复习都产生一个优雅的封闭形式更新：

$$\theta \mid \text{data} \;\sim\; \text{Beta}(\alpha + s,\; \beta + f)$$

其中 $s$ 是成功次数，$f$ 是失败次数。任意时刻的期望水平为：

$$\mathbb{E}[\theta] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$$

这个Beta分布同时携带两条信息，而这个区分对后面的一切都至关重要。它的均值 $\mathbb{E}[\theta]$ 是我们对你回忆这张卡片可能性的信念。它的精度 $\alpha + \beta$ 是我们对这个信念的信心。高均值配低精度意味着"我们认为你会，但不确定"，这个状态正是第4节隐含证据模型的核心。

复习评分更新

每次复习后，你告诉应用进展如何：简单、良好、困难或失败。每种回应提供不同量的证据。轻松答对是你掌握材料的强烈信号。点击"困难"是你仍在努力的温和提示。以下是每种结果如何调整模型：

保守收敛

系统是刻意保守的：它不会在仅一两次正确回答后就判定你已掌握。掌握需要通过持续表现来获得。这意味着幸运猜测不会欺骗系统，但真正的知识总会被认可：

这种保守性防止了幸运猜测带来的过度自信，同时允许真正的掌握随时间被认可。

3. 组成部分归因

每一种人类语言都是组合式的：更大的意义由更小的部分组装而成。中文之所以特别便于这样建模，是因为它的书写系统把这种结构直接摆在表面：词由可见的汉字组成，汉字又由部首和笔画组成。所以当你成功复习像好吃（delicious）这样的短语时，这不仅告诉我们关于短语的信息，还告诉我们关于组成它的单个汉字好和吃的信息。你显然也认识这些汉字，否则你不可能答对短语。

但微妙之处在于：并非短语中的每个汉字都值得同等的功劳。如果一个汉字比另一个难得多，而你答对了整个短语，那么难的汉字是更令人印象深刻的部分。所以我们给它更多的功劳。

基于难度的加权归因

当一次短语复习被投射到它的组成部分上时，每个组成部分分得的功劳与其难度成正比。对于难度为 $d_i$ 的组成部分 $i$，归一化权重为：

$$w_i = \frac{d_i}{\displaystyle\sum_{j} d_j}$$

求和遍历短语的完整广度优先分解（它的组成汉字，以及递归地，它们的部首和笔画），所以每个单独的份额都很小，而更难的组成部分得到更大的切片。让权重与难度成正比（而不是某种更陡的关系），确保有意义的证据能传到每一个组成部分，而不只是唯一一个最难的。每个组成部分收到相同的结果（一个简单的父短语为每个组成部分产生一个简单的隐含信号）；只有大小（权重）不同。

对于结果为 $O$ 的复习，每个组成部分收到加权更新：

$$\Delta\alpha_i = w_i \cdot \Delta\alpha(O) \qquad\qquad \Delta\beta_i = w_i \cdot \Delta\beta(O)$$

计算示例

假设你在「好吃」上评了 EASY（容易），其中「好」的难度为 6，「吃」的难度为 12。仅看这两个字：

$$w_{\text{好}} = \frac{6}{6 + 12} = \frac{6}{18} \approx 0.33 \qquad\qquad w_{\text{吃}} = \frac{12}{6 + 12} = \frac{12}{18} \approx 0.67$$

所以「吃」得到「好」两倍的归因：更难的字得到更多功劳，同时仍与更容易的那个分享真实的证据。在真实系统中，分解会一路向下延伸到部首和笔画，所以每个原始份额只是百分之几的一小部分；下一节解释如何把这些微小的份额转化为有用的证据，而又绝不把它误认为是确证。

4. 直接证据 vs. 隐含证据

组成部分归因引出一个微妙的问题。当你把好吃复习为简单时，你直接证明了你认识这个短语。但你只间接地证明了你认识好和吃。也许你把整个词当作一个单位识别出来，也许是上下文带着你过去的。这种隐含证据是真实而有用的，但绝不应该被误认为是对那些汉字的直接测试。在一百个句子里见到一个汉字应该提高我们对你认识它的信念，但不应该把信心提高到足以宣布它已掌握、不再展示给你的程度。

解决方案是在每个词语背后保留两本独立的账本，每当任何东西变化时就把它们重新组合。

两个桶

• 直接桶 $(\alpha_d, \beta_d)$ 是一个Beta分布，只由对词语本身的全权重直接复习喂养，从 $\text{Beta}(0.5, 0.5)$ 先验开始。这些就是第2节里同样的 $+1.0 / +0.7 / +0.3 / +1.0$ 更新。
• 隐含桶累积来自第3节的微小的、按难度加权的份额，每当词语出现在你复习的短语里就累加一次。因为每个原始份额只是百分之几的一小部分，它会先被一个增益因子（≈ 40）提升到有意义的范围，再被加进去： $$w = \text{归一化权重} \times \text{增益} \qquad (\text{增益} \approx 40 \text{ 把 } \sim0.003 \text{ 提升到 } \sim0.12)$$

融合

存储的、有效的分布在每个事件后从两个桶重新计算。隐含桶的伪计数给出一个隐含均值 $m$，而它的总质量（经过封顶）给出一个隐含强度（精度）：

$$m = \frac{a_i}{a_i + b_i} \qquad\qquad \text{strength} = \min(a_i + b_i,\; s_{\text{cap}}) \cdot \gamma(n_d)$$ $$\alpha_{\text{eff}} = \alpha_d + \text{strength} \cdot m \qquad\qquad \beta_{\text{eff}} = \beta_d + \text{strength} \cdot (1 - m)$$ $$\theta = \frac{\alpha_{\text{eff}}}{\alpha_{\text{eff}} + \beta_{\text{eff}}} \qquad\qquad \text{uncertainty} = \frac{1}{\alpha_{\text{eff}} + \beta_{\text{eff}} + 1}$$

两个杠杆完成全部工作：

• 封顶 $\min(\cdot,\, s_{\text{cap}})$ 限制了上下文能买到多少精度。上下文可以把 $\theta$ 推高，但不确定性保持高，所以仅靠上下文的词语永远通不过低不确定性的掌握测试。当 $s_{\text{cap}} = 0.8$ 时，一个只在简单上下文中见过的汉字落在 $\theta \approx 0.72$、$\text{uncertainty} \approx 0.36$：被相信认识，刚好在掌握线下方，并且明显不自信。
• 消化因子 $\gamma(n_d) = \dfrac{1}{1 + n_d / k}$ 随着直接复习到来而让隐含桶淡出（$n_d$ 是直接复习计数，$k = 3$）。隐含影响在3次直接复习后减半，在9次后变为四分之一。一旦你真正被测试得足够多，你的分数就完全由直接证据驱动，上下文证据不再重要。

三个状态，而非两个

把信念和信心分开，在"主动学习"和"退休"之间创造了第三个状态：一个你大概从上下文认识、但系统尚未确认的词语：

上下文可以把一个词语从主动 → 休眠，于是它停止增加认知负荷、停止被反复练习，但只有直接证据能把它从休眠 → 已确认。因此任何"你已掌握这个，停止复习"的决定都同时要求 $\theta \geq 0.8$ 和 $\text{uncertainty} < 0.10$。休眠状态通过第一个测试，并刻意未通过第二个，所以一个暂定认识的词语保持为低频确认候选，并在一个相关项目失败的那一刻立即被重新浮现。

无需每夜扫描的遗忘

旧的上下文信号应当淡去：一个你上个月见过几百次的词语，不该让它的均值被远古的相遇牢牢钉住。与其每夜重新触碰每个词语（那会淹没同步），不如只在写入时施加衰减，就在一个事件已经触碰到该词语的那一刻：

$$\text{factor} = 0.5^{\,\Delta\text{days} \,/\, \text{halfLife}} \qquad (\text{halfLife} = 30 \text{ 天})$$

隐含计数在新信号加入之前先乘以这个因子。事件之间，存储的值只是一个冻结的快照（正如直接桶本就的行为），所以读取保持为一次普通查找。这让隐含均值对近期表现保持响应。

为什么重要：迁移学习

这个两桶模型带来系统的核心优势（汉字从包含它们的短语中获得水平），同时让这种推断出的知识保持诚实：

• 引导起步：在好被单独练习之前，对好吃、好看、好听的简单复习累积隐含证据，把好提升到休眠状态：被相信认识，尚未确认。
• 更少冗余练习：休眠的组成部分退出主动轮换，所以你的复习花在真正新的东西上，而不是反复证明你已经知道的。
• 自我纠正：因为休眠词语保持高不确定性，一次相关的失败会立即重新浮现它们；上下文被当作假设，而非定论。

5. 技能水平追踪（卡尔曼式 IRT）

除了追踪单个卡片，应用还维护你整体技能水平的估计：一个代表你大致能处理多难卡片的数字。这个数字与语料库在同一个难度量表上：技能水平100意味着你应该能舒适地处理难度100及以下的汉字和短语。

这个估计是刻意谨慎的：它只在你做出令人惊讶的事情时才移动。答对一张简单卡片不能证明任何新东西，答错一张难卡片是预料之中的。但答对一张难卡片？那是有意义的证据，表明你的技能水平应该提高。

技术上，这是建立在项目反应理论（IRT）之上的卡尔曼滤波式更新。每次有信息量的复习被视为对你真实技能的一次带噪声的高斯观测，更新的大小取决于这次观测实际携带了多少信息。靠近当前估计的干净观测会显著移动指针；远离估计的异常观测则会被适当地打折扣。

双参数模型

你的技能由 $\mu$（当前估计）和 $\sigma$（不确定性）表示：

$$\text{skill} = \big(\mu,\; \sigma\big) \qquad \text{initially} \;(\mu_0 = 0,\;\sigma_0 = 75)$$

任意时刻的95%置信区间为：

$$\text{CI}_{95\%} = \mu \pm 1.96\,\sigma$$

非对称证据钳制

更新的第一道过滤器是信息量钳制：并非所有复习结果都同样有诊断价值。想象你是一个技能100的学习者，答对了难度5的卡片；当然你会答对，对你来说太简单了。但如果你答对了难度150的卡片，那是真正的新闻。系统只在结果真正令人惊讶时才移动你的技能估计：

卡尔曼更新规则

当令人惊讶的结果触发时，我们把卡片难度 $d$ 看作对你真实技能的一次带噪声测量。观测方差取决于卡片离当前估计有多远，以及结果信号有多强：

$$\tau^2 \;=\; \tau_0^{\,2} \cdot \left(1 + \left(\frac{d - \mu}{\text{distanceScale}}\right)^{\!2}\right) \;\big/\; \text{strength}(\text{outcome})$$

然后由卡尔曼增益 $K$ 决定我们闭合多少差距：

$$K \;=\; \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + \tau^2} \qquad\qquad \mu' \;=\; \mu + K \cdot (d - \mu) \qquad\qquad \sigma'^{\,2} \;=\; (1 - K)\,\sigma^2$$

这个公式自然地带来三个性质：

• 远离估计的异常观测几乎不会移动 $\mu$。远离当前估计的卡片会产生很大的 $\tau^2$，从而压缩 $K$，从而压缩更新幅度。当 $\mu=50$ 时一次在 $d=500$ 卡上的成功，会把你从 50 推到约 73，而不是 207。
• 偶然的失误不会拖垮已建立的估计。一旦 $\sigma$ 变小，同样远的观测会产生更小的 $K$。当 $\mu=200$ 时在 $d=50$ 简单卡上的一次 FAIL 几乎不会影响你。
• $\mu$ 更新是凸的。因为 $K \in [0,1]$，$\mu'$ 总是落在你当前的估计和卡片难度之间；它永远不会越过你刚答的那张卡片的难度。

结果强度

强度权重反映了每种结果携带多少信号。EASY 和 FAIL 是干净的"我会"或"我不会"信号；GOOD 稍微嘈杂一些；HARD 最嘈杂，因为它混合了部分成功与部分失败：

会呼吸的不确定性

普通的卡尔曼滤波只会缩小它的不确定性：因为 $\sigma'^2 = (1-K)\sigma^2$，每次更新都让 $\sigma$ 变小、从不变大。当你测量的是一个静止不动的量时这完全正确，但学习者的技能并非固定；它在增长，有时是跳跃式的。如果 $\sigma$ 被允许坍缩，增益 $K$ 也随之坍缩，估计就停止跟踪一个仍在变化的学习者。

修复办法是让 $\sigma$ 呼吸：当模型真正感到惊讶时变宽，当它校准良好时收紧。在每次卡尔曼修正之前，我们按近期预测错得有多离谱来给先验方差充气。关键量是归一化创新：预测误差相对于模型预期的误差有多大。

我们把每个结果按 0–1 量表打分（$s$：FAIL 0，HARD 0.3，GOOD 0.85，EASY 1.0），并与模型预测的分数 $p_e$ 比较，预测方差为 $p_v$（两者都来自在卡片难度上求值的四结果分级反应模型）：

$$\text{NIS} = \min\!\left(\frac{(s - p_e)^2}{p_v + \text{floor}},\; \text{nisCap}\right) \qquad\qquad \overline{\text{NIS}}' = (1-\lambda)\,\overline{\text{NIS}} + \lambda\,\text{NIS}$$ $$\text{inflation} = 1 + q \cdot \max\!\big(0,\; \overline{\text{NIS}}' - 1\big) \qquad\qquad \text{priorVar} = \sigma^2 \cdot \text{inflation}$$

一个完美校准的模型有 $\overline{\text{NIS}} = 1$：它的残差恰好和它预期的一样大。只有当平滑后的 NIS 持续高于 1（意味着 $\mu$ 真的估错了，而不只是你抽到一张天生五五开的卡片），充气因子才超过 1 并重新打开先验。这个充气后的 $\text{priorVar}$ 随后在上面的卡尔曼更新中取代 $\sigma^2$。旋钮 $q$ 控制惊讶把先验重新打开的力度；当 $q = 0$ 时充气关闭，$\sigma$ 只会缩小。

噪声下限。分母包含一个随难度增长的下限 $\text{floor} = 0.08 + 0.30 \cdot (d / 1000)$，由真实复习数据拟合。它吸收难度分数无法捕捉的"诚实的"不可预测性：组成部分简单却意义不简单的非组合性成语（上门、心里过不去），以及技术或专有名词（奥尔特云）。这使得真实的模型噪声不被误认为是估错的技能。

收敛示例

一个新用户按照上升课程复习（难度从 20 爬到 500，真实技能 = 400），共 300 次复习：

估计跟踪真实技能的误差在约 1% 以内：平滑、无剧烈波动。有了会呼吸的不确定性，$\sigma$ 在陡峭的早期攀升中保持较高（当 $\mu$ 仍在移动时），只有当 $\mu$ 接近真实技能时才收紧，全程是诚实的置信区间。

回报。面对一个第一天真实技能就已约 650 的合成学习者，会呼吸的不确定性只需 25–40 次复习就把 $\mu$ 校准到真实水平，并且因为 $\mu$ 更新是凸的，它做到这一点时从不超过真实技能。

不确定性的上下限

不确定性如今是一个活的量，被靠近 $\mu$ 的有信息量复习往下压，又被令人惊讶的预测误差往上推。这两股力量的平衡设定一个动态稳态，而不是把 $\sigma$ 钉在下限。下限 $\sigma_{\min} = 10$ 只防范病态的过度自信（足够低，让一个真正校准良好的估计能报告一个紧致的区间），而上限 $\sigma_{\max} = 120$ 约束惊讶能把先验重新打开多远，即使在模型失配下也保持数学的良好条件。

6. 认知负荷模型

你有没有一次塞太多新词汇结果一个都没记住？那就是认知过载，它是有效语言学习的最大敌人。对对对！持续监控你正在处理的脑力工作量，并相应调整节奏。当你精力充沛、状态良好时，它引入新材料。当你到达极限时，它放慢速度，专注于巩固已经见过的内容。

系统追踪四个因素来估计你的认知负荷：每张卡片的不确定程度、你对它的掌握程度、它相对于你水平的难度，以及你作为学习者的总容量。

只有活跃卡片（你直接复习过的卡片）贡献认知负荷。处于休眠状态的卡片，即仅通过组成部分归因的隐含证据获知的卡片（第4节），被排除在外。它们代表推断的知识，而非主动学习负担，这正是隐含桶小心地绝不让上下文单独使一张卡片退休的原因：一个休眠词语已经停止消耗你的认知负荷。

注意力需求

一张你从未见过的卡片需要最大注意力，它可能是任何东西。一张你复习过很多次的卡片，无论你掌握得好不好，需要更少的注意力，因为你至少已经在脑中对它进行了分类。系统使用你知识估计的统计不确定性来衡量：

$$\text{Var}[\theta] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$$

我们将其归一化为注意力分数：

$$\text{attention} = \sqrt{\frac{\text{Var}[\theta]}{0.25}}$$

最大注意力出现在 $\text{Beta}(1,1)$（从未见过）。随着证据积累，注意力向零下降，无论卡片是容易还是困难；你只是已经对它进行了分类。

掌握因子

随着你在一张卡片上变得更好，它占用的脑力空间更少。这不是突然的切换，而是一条平滑的曲线，水平的每一小步提升都给你多一点呼吸空间。一张你80%有信心的卡片几乎不会被记录为认知负荷：

$$m(\theta) = \frac{1}{1 + e^{12(\theta - 0.65)}}$$

水平的每一步提升都提供切实的缓解，没有停滞感。

相对难度权重

难度始终是相对的。难度50的卡片对初学者来说是压倒性的，但对中级学习者来说是微不足道的。系统将每张卡片的难度与你当前的技能水平进行比较，所以匹配你水平的卡片总是贡献相同的负荷，无论你是在第一天还是第三百天：

$$r = \sqrt{\frac{\text{difficulty}}{\text{effective\_skill}}} \qquad\text{where}\quad \text{effective\_skill} = \max(\mu, 10)$$

在你技能水平上的卡片权重始终 $\approx 1.0$，无论你是初学者（技能10，难度10）还是中级（技能500，难度500）。

认知容量

初学者只能同时处理几张卡片就会感到不堪重负。但随着你学更多中文，你发展出心理捷径、模式识别和上下文锚点，让你能同时处理更多材料。系统建模了这种增长的容量：高级学习者可以舒适地管理比初学者多十倍的活跃卡片：

$$\text{capacity} = \text{effective\_skill}^{\,0.6}$$

综合负荷

把它们放在一起：每张卡片的认知成本取决于它有多不确定、你掌握得多好、对你水平来说有多难，以及你的总容量。将所有活跃卡片的这些值加起来，你得到一个代表你大脑"满载"程度的数字：

$$\ell_i = \frac{\text{attention}_i \;\cdot\; m(\theta_i) \;\cdot\; r_i}{\text{capacity}}$$

总认知负荷是所有活跃卡片的总和：

$$L = \sum_{i \in \text{active}} \ell_i$$

容量归一化确保"80%负载"始终意味着"接近你的个人极限"，无论那个极限是10张卡片还是235张。

7. 自适应卡片选择

这是所有部分汇聚在一起回答最重要问题的地方：你接下来应该学什么？系统面临一个基本权衡：引入新的令人兴奋的东西，还是回去巩固你仍在学习的东西？太多新材料你会全忘了。太多复习你会感到无聊。答案是把每个选择都路由到一小组专门的池子里。

五池路由器

选择器不再是一次单纯的新-对-复习的抛硬币，而是从五个池子里抽取，每个池子有独特的教学职责：

• 巩固：你正在主动学习的卡片，在它们的水平处于最佳区域（约 $\theta = 0.5$，再看一眼最划算的地方）时浮现。
• 组合（向上构建）：当你认识各组成部分时，系统提供它们形成的复合词（好 + 人 → 好人），把已稳固的知识变成新的触及范围。
• 分解（向下拆解）：当一个复合词不断绊倒你时，系统练习它底下的各个部件。
• 探索：在你能力前沿的真正新材料，以精心选择的难度引入（见下文）。
• 陈旧：你很久没见过的东西，在遗忘发生之前重新浮现。

每个池子贡献多少，取决于你实时的认知负荷（第6节）：当你有余量时，新材料的池子打开；当你接近容量时，路由器转向巩固和陈旧。

难度定位：成功率控制器

新材料应该有多难？直觉答案（"你的技能估计 $\mu$，再加一点"）其实暗藏危险，因为估计可能自信地错。如果你被喂简单卡片，模型从不感到惊讶，于是 $\sigma$ 坍缩、$\mu$ 停在那里未校准，而基于 $\mu$ 的目标会乐意把你永远停在简单卡片上，确信自己做得对。

所以新材料难度根本不从 $\mu$ 读取。它来自一个独立的探测难度 $P$，在每次前沿复习后由一个追逐目标成功率的简单控制器轻推：

$$P \;\leftarrow\; \max\!\big(0,\; P + \eta \cdot (\text{score} - \text{target})\big) \qquad (\text{仅当 } d \geq P - \text{band})$$

其中 $\text{score}$ 是 0–1 量表上的结果（FAIL 0，HARD 0.3，GOOD 0.85，EASY 1.0），$\text{target}$ 是你瞄准的成功率，$\eta \approx 70$ 难度单位是步长。当你轻松答对前沿卡片时，$P$ 上升；当你开始答错它们时，$P$ 下降，所以它从任一方向收敛到你的观测成功率等于目标的那个难度。前沿守卫（$d \geq P - \text{band}$，其中 $\text{band} \approx 80$）确保只有真正的新材料移动 $P$；轻松答对一张简单的巩固卡片会被忽略。

因为控制器依据观测到的成功（基本事实）而非模型的预测，它无法被一个自信地错的估计欺骗：只要你不断答对，$P$ 就不断攀升，无论 $\mu$ 和 $\sigma$ 多么确信。这干净地分离了两项工作。你在设置里选的"挑战级别"只是选择目标成功率（更容易的设置让你停在更高的成功率上）；$\mu$ 和 $\sigma$ 则被解放出来做它们擅长的事（驱动显示、置信带、认知负荷，以及第5节会呼吸的不确定性数学），而不必同时挑选你的下一张卡片。

8. 如何协同运作

每次你点击按钮（简单、良好、困难或失败），你都在系统的每一层引发连锁反应。你的知识估计更新，你的技能水平调整，你的认知负荷重新校准，下一张卡片被选择。这一切在毫秒内发生，结果是一种感觉像在读你心思的学习体验。

完整的连锁过程：

1. 复习事件：更新短语的直接贝叶斯桶，并将微小的、线性加权的隐含更新向下传播到每个组成部分：汉字、部首和笔画。
2. 有效分数：重新融合每个受影响词语的直接桶和隐含桶，给上下文能买到的信心封顶，于是新认识的组成部分稳定进入休眠状态。
3. 技能更新：按结果有多令人惊讶给不确定性充气，然后，如果结果有信息量，就应用卡尔曼修正，按真实证据成比例地移动 $\mu$ 并重塑 $\sigma$。
4. 认知负荷：根据所有活跃卡片的注意力、掌握度、相对难度和容量重新计算 $L$。
5. 卡片选择：按认知负荷给五个池子加权，并选择下一张卡片，以成功率控制器已收敛到的难度抽取新材料。

使这个系统健壮的是它能自我纠正。几个自然反馈回路保持一切平衡：

• 过载保护：高 $L$ → 更少新卡片 → $L$ 下降。
• 进度加速：低 $L$ → 更多新卡片 → 持续挑战。
• 难度校准：成功率控制器追逐你的真实表现 → 新材料落在恰当的挑战上，无论估计误差如何。
• 会呼吸的信心：有信息量的复习缩小 $\sigma$；令人惊讶的预测误差重新加宽它 → 报告的信心随着你的变化保持诚实。
• 迁移学习：短语复习为组成部分建立隐含证据 → 更少冗余练习，以高不确定性作为安全网。

结果是一种毫不费力的学习体验，因为数学在每张卡片背后承担了繁重的工作。